Составление выражения для передаточной функции замкнутой системы

Составить выражение для передаточной функции замкнутой системы, исследовать её на устойчивость, используя критерии Гурвица и Михайлова.

Звенья 1, 2 соединены параллельно:

Звенья 3, 4 и 5 соединены последовательно:

Звенья 12, 345 соединены последовательно:

Звенья 6 и 7 соединены параллельно:

С учетом обратной связи:

Таким образом, результирующая передаточная функция замкнутой системы:

Критерий Гурвица:

Для оценки устойчивости применим наиболее распространенный из алгебраических критериев - метод Гурвица. Для этого необходимо найти характеристическое уравнение системы в замкнутом состоянии. Полином знаменателя в выражении, приравненный к нулю. Это и есть характеристическое уравнение системы:

А(p) = a3 · p3 + a2 · p2 + a1 · p + a0 = 0

Согласно критерию Гурвица, для того, чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы при а0 > 0 были положительны все определители Гурвица:

∆1 > 0, ∆2 > 0, …, ∆n > 0,

где n - степень характеристического уравнения системы. В данном случае n = 3, следовательно, должны быть положительны все определители Гурвица до третьего порядка.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от an до a1;

) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали снизу вверх;

) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули

Тогда согласно критерию Гурвица:

Так как все определители Гурвица больше 0, система устойчива.

Если характеристическое уравнение заданной САУ записать в виде:

A(ω) = a0 · (jω)n + a1· (jω)n-1 +…+ an-1· jω + an= 0,

то его можно заменить эквивалентной суммой вещественной и мнимой частей, обозначив действительную часть через U (ω), а мнимую - через V (ω):

U(ω) +jV(ω) =А(jω),

где U(ω) = Rе А(jω) = an - an-2 · (ω)2 + ….+an-4· (ω) 4+ a0 · (ω)n ,

V(ω) = Im А(jω) = an-1 - an-3 · ω + ….+an-5 · ω3+ a1 · ωn-1

Для характеристического уравнения исходной САУ аналитические выражения вещественной и мнимой частей имеют вид:

передаточный функция замкнутый гурвиц

А(ω) = 2.729 - 0.5374 · ω2А(ω) = 22.2675 · ω - 0.0163 · ω3.

Изменяя ω в пределах от 0 до ∞, получим кривую - годограф Михайлова. Критерий Михайлова формулируется следующим образом: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении ω от 0 до начинался на вещественной оси в точке a3 и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к в n-ом квадранте.

Следуя выше приведенному алгоритму, получим годограф Михайлова, представленный на рисунке. Находим значения вещественной и мнимой части.

Лучшие статьи по информатике

Теория автоматического управления. Линейные системы
Настоящие методические указания служат пособием для студентов института, выполняющих лабораторные и курсовые работы по теории линейных систем автоматическог ...

Телефонный номеронабиратель
Первые микроконтроллеры компании MICROCHIP PIC16C5x появились в конце 80-х годов и благодаря своей высокой производительности и низкой стоимости составили с ...

Расчет дешифратора
Проектирование и разработка базовых электронных схем и создаваемых из них более сложных систем как раз и составляют то, чем занимается электроника. Среди близ ...